Hur ska vi förstå oändlighet?
Kan något vara utan slut: i tid, i rum, i antal? Medan oändligheten framstår som ofattbar i sin storlek blir det ändå mer svårfattligt att tänka oss vissa fenomen som begränsade.
Oändlighetens konstans
Kant är en av de stora filosoferna som rådbråkat sin hjärna med frågan om något kan vara oändligt. Vad han kallade ”tesen” utgjorde antagandet att tiden och rummet är begränsade (ändliga) medan ”antitesen” utgjorde antagandet att tiden och rummet är obegränsade (oändliga).
Tesen och antitesen var de rationalistiska respektive de empiriska ståndpunkterna. Vilket av ståndpunkterna ställde sig Kant bakom? Ingen eller båda är svaret då Kant ansåg att deras sannolikheter tog ut varandra. Det är svårt att tänka sig det ena mer än det andra alternativet när man som Kant betonade att vår vetskap om vad vi ser omkring oss bara sträcker sig från vår subjektiva begränsade horisont och kan således aldrig bli mer än en tolkning av världen.
Kants tar sig således an frågan kunskapsteoretisk samt metafysiskt snarare än positivistiskt. Han förvandlar spörsmålet till en icke-fråga i det han menar att världen bortom vår föreställningsförmåga inte består av tidsliga och rumsliga relationer.
Oändlighetsbegreppet inom logiken
När det kommer till antal brukar vi näst intill förutsätta att oändligheten är fallet. Vi tänker oss att en talserie rimligtvis kan fortsätta utan slut. Det blir motstridigt att tänka sig ett sista möjligt heltal. Det förefaller mer logiskt att det alltid kan adderas +1 till alla upptänkliga tal. Postulatet är sålunda: om vi kan lägga till ett till varje tal blir talen ofrånkomligt oändligt många.
Inom den filosofiska logiken har oändlighetsbegreppet (T används för en oändlig mängd) fattats som en slutsats som följer ur kedja av premisser:
- Rörelse förutsätter kontinuitet.
- Kontinuitet förutsätter oändlighet.
Oändligheten tycks därför vara en logisk nödvändighet och att paradoxer uppkommer därur som oundvikligt. Uppkomsten av paradoxer från slutsatsen att oändlighet existerar är inte skäl nog för att undanröja slutsatsen, med andra ord.
En av de mest paradoxala följderna var att det dessutom tycktes kunna finnas olika slags oändligheter, med olika slags storheter. Här kan införas begrepp som aktuella och potentiella oändligheter. Detta är ett konstruktivistiskt synsätt som säger att det i varje ögonblick finns ett visst högsta tal, det högsta som någonsin används av en människa, och de tal som är högre än detta existerar enbart potentiellt. Eller att det inte finns ett högsta tal av redan nämnda skäl. I praktiken kan det synas vara samma sak, men inom den matematiska logiken kan åtskillnaden ha betydelse.
Därför kan man också tala om olika stora oändligheter. Detta verkar absurt, för vad kan vara större än något som är oändligt? Inom den gren i matematiken som kallas mängdlära används likväl olika typer av oändligheter. Ett klassiskt exempel är att skilja mellan de naturliga talen (1, 2, 3, …) som är oändligt många och de reella talen mellan 0 och 1 (som 0,1, 0,123456…, π/4, √2/2 osv.) som också är oändligt många, men ännu fler. Detta beror på att de naturliga talen kan räknas upp ett i taget (så kallad uppräknelig oändlighet) medan de reella talen inte kan räknas på detta sätt eftersom det alltid finns oändligt många mellan två godtyckliga tal (denna mängd är icke-uppräknelig).
Fullhetsprincipen
I ett oändligt perspektiv kommer allt förr eller senare att hända (detta vittgående påstående är åtminstone nästan sant, varför det inte är fullständigt sant framkommer nedan). Oändligheten kan sägas vara är den ultimata förutsättningen för att generera potential.
Enligt fullhetsprincipen kommer alla möjligheter i slutändan kommer realiseras. Ett exempel som ibland har använts för att illustrerar det näst intill ofattbara som ett oändlighetsperspektiv tillåter är att om ett antal schimpanser tilldelades varsin skrivmaskin skulle någon av dessa till slut författa Illiaden. Det är blott en fråga om kombinationer och dess möjliga utfall. Alla tänkbara utfall från möjliga kombinationer kommer förr eller senare besannas och de kombinationer som leder fram till att Illiaden skrivs är en av dessa.
Det är viktigt att poängtera att fullhetsprincipen säger att möjligheter kommer realiseras och inte omöjligheter. Det verkar betydligt mindre sannolikt att en schimpans skulle skriva Illiaden (förvisso omedvetet) än att en människa skulle avlossa en pil från en pilbåge som träffade mitt i prick på en måltavla. Fast det behöver inte vara sant. I filmen Ivanhoe lyckas en mästerlig bågskytt klyva pilen som dennes motståndare tidigare avskjutit mitt i prick. Om detta är möjligt i ett oändlighetsperspektiv kan diskuteras från ballistiska perspektiv. Men vi behöver inte göra det så pass krångligt.
I stället kan det konstateras att en människa aldrig kommer att lyfta en sten som överstiger en viss storlek över sitt huvud oavsett hur många försök som gavs (dvs. av olika människor inklusive alla nulevande och kommande generationer). I detta fall är inte oändligheten till gagn då utfallet saknar potential.
Oändligheten befinner sig ofta långt bortom våra praktiska göromål. Även om den är en realitet blir den ofta mer som en abstrakt hypotes eftersom vi inte möter direkt och därmed inte empatiskt internalisera det oändliga.