Logik
Logiken går tillbaka till Aristoteles, fast ordet (härlett ur ´logos´) användes först av stoikerna. Det går också att betrakta logik (logos) som början på en ny tradition som under antiken delvis avlöste myterna (mythos) som de centrala delarna i den samlade kunskapen om världen.
Logik handlar om att resonera sig fram till slutsatser. Den står i nära förhållande med matematiken, men också med vetenskapsteori. Medan logiken är fundamentet för matematikens teorem är den också en metod för att uppnå vetenskaplighet.
Påståenden som är sanna eller falska
Ett grundläggande område inom den formella logiken är sanna och falska påstående. Dessa kan uttryckas i logiska satser. Ett exempel: om A = B är A ≠ C. Denna sats kan i stället uttryckas språkligt: Om det är sant att jag är en människa, är det osant att jag är en katt. En syntes av satserna blir därför: Om det är sant att jag (A) är en människa (B), är det osant att jag (A) är en katt (C).
En sats kan utvidgas till ett kategorisk påstående: Alla A = B. Vilket kan få en språklig motsvarighet i alla människor är däggdjur.
Att notera är att slutsatser som kan nås genom ren logik inte behöver empiriskt bevisas.
Slutsatser ska följa ur premisserna
På en högst grundläggande – ja, rentav trivial – nivå befinner sig följande sats: p är sant, alltså är p sant. Vilket kan ges en språklig motsvarighet: Jag är människa, alltså är jag människa. Satser som dessa utgår från självimplikationsregeln.
I föregående exempel dras en slutsats från en premiss. Att utifrån två premisser dra en slutsats kallas för en syllogism. Här följer ett exempel på en syllogism:
- Ingen människa kan flyga (första premiss)
- Jag är en människa (andra premiss)
- Alltså kan jag inte flyga (slutsats)
Uppställningen visar hur två premisser resulterar i en sann slutsats. Men slutsatser som följer ur premisser behöver inte vara sanna, vilket framgår av denna syllogism:
- Inget däggdjur kan flyga (första premiss)
- Alla grisar är däggdjur (andra premiss)
- Alltså kan ingen gris flyga (slutsats)
Slutsatsen är sann, men en av premisserna är falsk (fladdermöss som är däggdjur kan flyga). Det andra exemplet illustrerar att något samtidigt kan vara logiskt och inte sant. Om en eller flera premisser är falska följer opålitliga slutsatser – vilket förstås i sig också är logiskt.
Enligt klassisk logik är ett påstående alltid sant eller falskt. Inom modallogik däremot, där satser innehåller tillägg som ”kanske” eller ”måste”, gäller inte längre säkra slutsatser. Följande är en sats som bygger på modallogik:
- Alla människor är däggdjur – det är nödvändigt att alla människor är däggdjur (första premiss)
- Det finns människor – det är möjligt att det finns människor (andra premiss)
- Det finns däggdjur – det är möjligt att det finns däggdjur (slutsats)
Första premissen uttrycker en nödvändig sanning om kategorier: i alla möjliga världar är människor en sorts däggdjur. En nödvändig sanning kallas också en analytisk sanning, vilket är en sats som är sann redan genom betydelsen av orden, t.ex. ”Alla ungkarlar är ogifta”.
Andra premissen säger att det i någon möjlig värld finns människor. Detta är däremot ingen nödvändig sanning utan en syntetisk modal sanning, vilket är ett påstående om hur världen kan vara: en empirisk möjlighet snarare än något som är nödvändigt sant.
De bägge premisserna leder till den sanna slutsatsen att det finns däggdjur, eftersom människor existerar och alla människor är däggdjur.
Nödvändigt och hypotetiskt
En av de syllogismer som presenterats ovan löd:
- Inga människor kan flyga (första premiss)
- Jag är en människa (andra premiss)
- Alltså kan jag inte flyga (slutsats)
Denna utgår från nödvändiga premisser. Därför är också slutsatsen beroende av premissernas giltighet. Detta förhållande kan undkommas genom att premisserna uttrycks hypotetiskt:
Om inga människor kan flyga och jag är en människa så gäller att jag inte flyga.
Skillnaden kan tyckas oväsentlig, men den är i själva verket stor. Slutsatsen kan inte längre avfärdas som falsk om någon av premisserna visar sig felaktiga, då dessa vilar på restriktionen om. Slutledningen ska som sagt följa ur premisserna och därför är inte slutledningen falsk (om än inkorrekt) ifallen hypotetisk premiss visar sig ogiltig.
Induktiv slutledning
Om vissa saker kan vi i stort sett vara säkra eftersom de har upprepats åtskilliga gånger med samma utfall. Men att vi inte kan med säkerhet avgöra om utfallen vilar på fullkomlig beständighet innebär avsaknaden av garanter inför framtida händelser. I dessa fall kan vi erhålla en induktiv slutledning, vilket med premiss och slutsats kan uttryckas följande:
- Solen har hittills gått upp alla dagar så långt vi kan minnas (premiss)
- Alltså går solen upp i morgon (slutsats)
Denna slutsats är högst antagbar, likväl är den inte säker. En sådan slutsats är induktiv, vilket står i motsatt till deduktiv.
Sanningsvärden
Två grundläggande sanningsvärden är sant och falskt. Det är logiskt att anta att något antingen är sant och eller falskt liksom att det inte finns något tredje alternativ. Detta kallas lagen om det uteslutna tredje.
I vissa fall förekommer dock flera sammanhängande premisser, vilket innebär att vad som utrycks även kan vara sant till en viss del. Sammanhängande premisser som binds samman av ”och” kallas konjunktioner medan de som binds samma av ”eller” kallas disjunktioner.
Jämför följande påståenden:
- Alexander den store levde under antiken och erövrade Amerika.
- Alexander den store levde under antiken eller medeltiden.
I det första påståendet är endast första satsen sann och därför är konjunktionen falsk. I det andra påståendet är det omöjligt båda satserna är sanna och därför är disjunktionen falsk.
Det finns ytterligare satsvariabler såsom implikation (eller villkorssats) och ekvivalens.